Partile II, III si IV ale acestui blog sunt deja publicate:
- Modelare epidemica 102: Toate modelele CoVID-19 sunt gresite, dar unele sunt utile
- Modelare epidemica 103: Adaugarea de intervale de incredere si efecte stocastice modelelor dvs. CoVID-19
- Modelarea Epidemiei 104: Impactul efectelor sezoniere asupra CoVID-19
In ultimele saptamani, in toata lumea s-a raspandit o afectiune groaznica. In caz contrar, membrii sanatosi si productivi ai societatii au fost infectati cu aceasta boala devastatoare care ii determina sa dea foc Excel, Python sau R si sa inceapa sa extrapoleze cele mai recente numere de cazuri CoVID-19 confirmate in orasul, statul, tara sau chiar intreaga lume!
XKCD: „Pana la al treilea trimestru, vor fi sute de bebelusi in interiorul tau”
Cu toate ca glumesc deoparte, severitatea actualei epidemii SARS-CoV-2 este de necontestat si este firesc ca oamenii sa se ocupe de stresul adaugat in viata lor (si de timpul liber suplimentar datorita procedurilor de blocare) in diferite moduri.
O demografie deosebit de afectata a fost a mea, cea a fizicienilor, rezultand in cresterea unei mici industrii de cabane de postari pe blog, publicatii LinkedIn si chiar lucrari arXiv cu incercarile lor cele mai bune de a modela raspandirea bolii, fara a intelege prea putin dinamica care sta la baza raspandirii epidemiilor. Inca o data, cuvintele nemuritoare ale lui Simon DeDeo au fost dovedite adevarate:
Adevarul vine uneori cu 140 de caractere la un moment dat
Invariabil, adeptii nostri neinfricti ai lui John Snow (nu cel la care te gandesti) sfarsesc cu o oarecare variatie a acestui complot, comparand numarul cumulat de cazuri sau decese in diverse tari, in functie de timp, cu o rata de crestere exponentiala dreapta.
Financial Times, 29 martie 2020
Extrapolarea la numere nerealiste, previziuni cu privire la momentul in care o tara ar putea sa o depaseasca pe alta, apar consideratii despre succesul sau esecul masurilor de izolare si alti alti shenanigani.
Aducerea intr-o lume haotica a fost intotdeauna forta motrice a progresului uman si se poate sustine ca aceasta este pur si simplu ultima sa incarnare: Numerati incearca sa foloseasca modelarea si abilitatile Data Science pentru a da sens lumii din jurul lor. O tendinta care a dus in ultimii ani la progrese impresionante in invatarea masinilor, inteligenta artificiala si stiinta datelor. Din pacate, desi exista motive intemeiate pentru a te astepta ca etapele timpurii ale raspandirii epidemiei sa fie exponentiale, exista multi factori practice care conspira impotriva eficacitatii montarii simple a curbelor si putine cunostinte de fond despre modelarea traditionala a epidemiilor pot merge mult.
Ceea ce urmeaza este perspectiva mea personala, ca individ cu experienta din lumea reala in modelarea epidemiei in timpul pandemiilor anterioare si nu ar trebui sa reflecte asupra niciunui grup sau institutie cu care as putea fi afiliat.
Modelarea matematica in Epidemiologie are o istorie lunga si bogata, care dateaza inca din anii 1920 cu teoria Kermack-McKendrick. Ideea de baza este inselator de simpla: putem imparti populatia in compartimente diferite, reprezentand diferitele etape ale bolii si putem folosi dimensiunea relativa a fiecarui compartiment pentru a modela cum evolueaza numerele in timp.
In discutia de mai jos, introduc mai multe modele si scenarii simple care sa ajute la ilustrarea problemelor, incercand pur si simplu sa potriviti curbele pe numerele empirice. Puteti gasi caietul pe care l-am scris pentru a implementa modelele si pentru a genera cifrele din depozitul GitHub pe care l-am facut special pentru aceasta postare:
Model SI
Sa incepem sa aruncam o privire la cel mai simplu model de epidemie posibil: Modelul Susceptibil – Infectat . Aici ne-am impartit populatia in doua compartimente, compartimentul sanatos (denumit de obicei Susceptibil ) si compartimentul Infectios . Dinamica este de asemenea simpla, atunci cand o persoana sanatoasa intra in contact cu o persoana infectioasa / se infecteaza cu o probabilitate data. Si, in acest exemplu simplu, atunci cand esti infectat, ramai infectat pentru totdeauna. Matematic, aceasta este adesea scrisa ca:
Descrierea matematica a modelului Susceptibil-Infectionat
ceea ce este doar un mod fantezist de a spune ca pierderea numarului de persoane sanatoase este aceeasi cu castigul in randurile celor infectati. Mai exact:
- N este pur si simplu dimensiunea totala a populatiei
- β este rata infectiei
- Este / fractia persoanelor infectate si reprezinta probabilitatea ca o persoana sensibila sa intalneasca una infectata.
Nu este surprinzator, acesta nu este un model foarte interesant: dat suficient timp fiecaruia se infecteaza:
Fractie infectioasa a populatiei totale in functie de timp.
Acest model simplu considera doar o modalitate de tranzitie intre compartimente: De la S la I prin interactiunea (contactul) dintre S si I. O modalitate compacta de a reprezenta aceasta este:
Tranzitia in modelul SI
Model SIR
Modele epidemice mai realiste pot fi dezvoltate adaugand compartimente si tranzitii suplimentare. Cel mai frecvent un astfel de model este modelul Susceptibil – Infectios – Recuperat :
Model SIR
Aici avem un nou compartiment, Recuperat , care reprezinta persoanele care au avut boala in trecut si s-au recuperat, devenind imune. Prezenta Recuperatului reduce lent numarul de persoane infectioase, deoarece li se permite recuperarea.
In ceea ce priveste tranzitiile, acesta poate fi scris ca:
Tranzitiile in modelul SIR
In cazul in care a doua linie reprezinta o tranzitie spontana (care nu interactioneaza) de la Infectios la Recuperat la o rata fixa μ .
Sau, matematic, ca:
Modelul Susceptibil-Infectios-Recuperat
ceea ce face clar ca cresterea numarului de recuperati depinde doar de numarul actual de persoane infectioase . De asemenea, trebuie mentionat ca acest model implica o dimensiune constanta a populatiei:
Populatie totala fixa
O expresie similara ar putea fi scrisa si pentru modelul SI.
Daca acum integram modelul SIR complet, gasim:
Fractia populatiei din fiecare compartiment in functie de timp
Cateva lucruri ar trebui notate despre acest complot:
- Numarul persoanelor sensibile poate scadea doar
- Numarul recuperatelor poate creste doar
- Numarul persoanelor infectioase creste pana la un anumit punct inainte de a atinge un varf si a incepe sa scada.
- Majoritatea populatiei se infecteaza si in cele din urma se recupereaza.
Daca ne apropiem doar de comportamentul compartimentului infectios , gasim:
SIR Compartiment infectios
In sensul ca o fractiune semnificativa a populatiei poate fi infectata in acelasi timp, ceea ce poate provoca (in functie de gravitatea infectiei) sistemul de ingrijire a sanatatii. Cand auziti despre „aplatizarea curbei”, aceasta este curba la care fac referire.
Conversatia / CC BY ND
Din expresia matematica a modelului SIR de mai sus, se pot obtine cu usurinta cateva rezultate interesante. Daca ne concentram pe primele zile ale raspandirii epidemiei, putem presupune ca fractia persoanelor sensibile este inca ~ 1 si gasim:
Exponential pe care toata lumea incearca sa-l potriveasca! Aici,
se pronunta „R nimic” si este numarul de baza de reproducere al bolii. Acest numar simplu defineste daca avem sau nu o epidemie. Daca Rₒ <1 boala moare, altfel, creste exponential !
Un mod intuitiv de interpretare a R the este numarul mediu de infectii noi produse de o singura persoana infectioasa. Daca o persoana este capabila sa raspandeasca boala la cel putin o alta inainte de a se reface, atunci epidemia poate continua, in caz contrar, moare.
Aceasta este ceea ce trebuie sa determinam si depinde de multi factori diferiti care sunt caracteristici virusului, asa cum elogia Kate Winslet in filmul din 2011, Contagion.
Cele mai bune estimari actuale ale valorii Rₒ pentru SARS-CoV-2, coronavirusul care cauzeaza CoVID-19 este in jur de 2,5.
De asemenea, valoarea lui Rₒ joaca un rol fundamental in determinarea evolutiei epidemiei. Daca avem in vedere a doua ecuatie care descrie modelul SIR:
Constatam ca derivatul numarului infectios devine negativ ori de cate ori:
Acesta este punctul in care am ajuns la apoge si epidemia incepe sa moara. Acesta este punctul in care populatia incepe sa aiba suficient din ceea ce se cunoaste drept imunitate la efectiv pentru ca boala sa nu poata raspandi in continuare. Ori de cate ori sunt disponibile vaccinuri, programele de vaccinare sunt concepute pentru a ajuta populatia sa ajunga la imunitatea efectivelor fara a fi nevoie sa obtina o parte semnificativa a populatiei infectate.
Rₒ determina, de asemenea, fractia finala a intregii populatii care nu va fi afectata de boala:
In cazul in care S_infinity se refera la fractia totala de individ sanatos (si niciodata infectat) dupa ce epidemia a avut timp sa-si urmeze complet cursul. Aceasta expresie nu este apta pentru solutia de forma inchisa, dar poate fi folosita pentru a estima numeric valoarea S_infinity . Figura SIR de mai sus a fost generata folosind Rₒ = 2 si vedem ca S_infinity ~ 0.2, care poate fi verificata usor prin conectarea acestor numere in aceasta expresie.
Pana in prezent, analiza noastra a modelelor epidemice s-a concentrat pe scenariul ideal care pare sa justifice abordarea adecvarii curbelor exponentiale ca un mod simplu de a incerca sa prognozeze evolutia epidemiei. Din pacate, lumea reala este semnificativ mai complexa intr-o varietate de moduri.
Cazuri asimptomatice si usor infectioase
Una dintre limitarile abordarii descrise pana acum este aceea ca face cateva presupuneri nerealiste:
- Nu exista o perioada de incubatie sau latenta. O perioada de incubatie intarzie intreaga cronologie epidemica. O problema care nu este semnificativa pentru scopurile noastre de aici.
- Exista un singur tip de individ infectios. In lumea reala, diferite sisteme imunitare raspund diferit la virus, ceea ce determina ca unele persoane sa fie complet asimptomatice (fara simptome) si cazuri usor infectioase. In cazul CoVID-19, numarul cazurilor asimptomatice este de 40% sau mai mare.
Ambele dificultati pot fi abordate prin adaugarea de noi compartimente si tranzitii la modelul nostru SIR de baza, fara mari dificultati. Cu toate acestea, acestea reprezinta provocari semnificative atunci cand se ocupa de numerele publicate oficial.
In primele zile ale epidemiei, doar cazurile mai severe (non-asimptomatice si non-usoare) se imbolnavesc suficient pentru a cauta ajutor medical si a fi diagnosticat oficial. Acest lucru duce in mod natural la o intarziere in depistarea primelor cazuri intr-un anumit oras sau tara si la o supraestimare a gravitatii bolii, deoarece cazurile mai severe sunt mai susceptibile de a muri.
Numerele publicate sunt de obicei cumulate, ceea ce face ca numarul total sa para mai mare. O modalitate simpla de extragere a unei masuri a numarului de cazuri posibile confirmate din modelul nostru simplu de SIR este de a conta cate persoane au fost scoase din compartimentul Susceptibil . Definind ϕ a fi fractia de cazuri infectioase care se testeaza, avem:
Cazuri confirmate
Drept urmare, numerele care sunt publicate depind direct de fractiunea de cazuri suficient de severe pentru a conduce atat la asistenta medicala, cat si a fi testate:
Cazuri confirmate in modelul SIR
Numarul de persoane (observate) recuperate va urma apoi o traiectorie similara, cu toate ca, dupa cateva zile de decalaj, se datoreaza intervalului natural al bolii:
Numar de cazuri recuperat
Desigur, cu boli noi este nevoie de timp pentru a dezvolta si distribui teste precise. Daca mai consideram ca fractia de testare ϕ depinde si de timp, atunci este usor sa vedem cum o multime de caracteristici observate in linia de timp a cazurilor confirmate sunt cauzate de politicile locale si de disponibilitatea testelor:
Efectul ratei de testare dependenta de timp
In aceasta figura comparam numarul de cazuri infectioase reale (in violet), rezultatul testarii uniforme (linie portocalie punctata) si ratele de testare dinamica (linie portocalie solida). Pentru claritate, desenam diferitele curbe intr-o scara logaritmica (schimbarea de la o linie de grila orizontala la alta corespunde unui factor de 10x) si includem o linie de potrivire exponentiala (linie albastra subtire) ca ghid pentru ochiul care reprezinta tendinta exponentiala generala.
Intarzieri dinamice
Un alt factor important de luat in considerare este evolutia temporala care este intrinseca in evolutia bolii. Un individ sanatos vine in contact cu o persoana infectioasa si se infecteaza. Infectia ei va dura un anumit numar de zile, ceea ce inseamna ca numarul actual de persoane infectioase este suma tuturor celor care s-au infectat astazi, ieri, cu o zi inainte, etc … si inca nu a avut timp sa se recupereze.
Aceasta implica faptul ca exista un decalaj natural intre varful noilor infectii si varful numarului total de persoane infectioase, care este proportional cu durata perioadei infectioase.
Distanta dintre varful in noile infectii si numarul de persoane infectate in prezent
O consecinta importanta a acestui decalaj este ca, chiar daca numarul de noi infectii astazi este mai mic decat a fost ieri si cu o zi inainte, va fi nevoie de cateva zile inainte ca efectele sa fie observate ca o reducere a numarului total de cazuri infectate.
Proceduri de blocare
Pe masura ce epidemia a progresat, multe tari din intreaga lume, incepand cu China, au incercat sa puna in aplicare proceduri de blocare sau de carantina pentru a incerca sa cuprinda raspandirea bolii. Aceste masuri s-au dovedit nepopulare cu publicul datorita consecintelor sociale si economice, de aceea este important sa intelegem efectul pe care il au in stoparea raspandirii epidemiei.
Sa ne imaginam scenariul perfect de izolare. Fac o bagheta magica si fiecare ramane acasa, la exact 6 metri distanta unul de celalalt in orice moment si nu se pot genera noi infectii. In cadrul nostru SIR, aceasta corespunde setarii bruste Rₒ = 0 sau pur si simplu eliminarii tranzitiei de interactiune din model. Rezultatele sunt uimitoare:
Strategie de izolare perfecta.
babes porno http://www.boundville.com/cgi-bin/a2/out.cgi?id=12&u=https://adult69.ro/
your porno sexy https://www.boemighausen.de/redirect.php?ad=83&to=https://adult69.ro/
porno cu minore http://www.njaryasamaj.com/gbook/go.php?url=https://adult69.ro/
filme porno cu catei http://mundoportugues.com.pt/linktrack.aspx?url=https://adult69.ro/filme-porno/amatori
porno hd large
amatori porno romanesti https://www.milk-dx.net/jump.php?url=https://adult69.ro/filme-porno/asiatice
homo porno http://theblogresource.com/__media__/js/netsoltrademark.php?d=adult69.ro/filme-porno/beeg
eva johnson porno http://megamusic.com/__media__/js/netsoltrademark.php?d=adult69.ro/filme-porno/blonde
filme porno cu femei cu curu mare http://www.ah-moore.com/__media__/js/netsoltrademark.php?d=adult69.ro/filme-porno/brazzers
porno islanda http://yapon.topcomic.com/__media__/js/netsoltrademark.php?d=adult69.ro/filme-porno/brunete
porno arici http://fortworthconventioncenter.org/__media__/js/netsoltrademark.php?d=adult69.ro/filme-porno/chaturbate
porno la ginecolog http://pinksandshotel.com/__media__/js/netsoltrademark.php?d=adult69.ro/blonda-de-16-ani-este-linsa-in-pizda-de-tatal-ei
porno cu minori http://www.porn-jp.com/bin/out.cgi?id=anac&url=https://adult69.ro/bruneta-minora-sta-in-genuchi-si-suge-pula-vecinullui-ei
film porno cu mame http://furusato-kirishima.com/cutlinks/rank.php?url=https://adult69.ro/film-porno-cu-un-cuplu-de-amatori-filmati-cu-camera-ascunsa
porno futaiuri http://www.shenghuonet.com/phpBB2/forumtopic.php?p=21459&l=https://adult69.ro/blona-frumoasa-care-seamana-cu-bianca-dragusanu-este-supusa-la-perversiuni
tube porno http://www.themalverncollection.co.uk/redirect/?url=https://adult69.ro/studenta-face-show-la-web-si-se-masturbeaza-cu-un-vibrator
mature porno granny ass http://mocksup.com/__media__/js/netsoltrademark.php?d=adult69.ro/un-culpu-de-amatori-fac-sex-in-padure-o-fute-pe-la-spate-anal
filme porno hentai http://www.feedshuttle.com/go.aspx?url=https://adult69.ro/fututa-cu-degetele-de-sora-ei-mai-mica
filme porno politiste http://www.gyvunugloba.lt/url.php?url=https://adult69.ro/curva-bruneta-care-stie-ce-vrea
filme porno xn http://www.studiomassaro.net/popup.asp?foto=public%2Fsponsor%2Fmagda+copia.jpg&link=adult69.ro/fetita-naiva-violata-de-bunic
Strategia este implementata la momentul indicat de linia punctata verticala si mentinuta atat timp cat este necesar pentru ca numarul persoanelor infectioase sa ajunga la zero.
Desi nu se genereaza noi infectii, numarul total de persoane infectate ramane ridicat timp de cateva saptamani, deoarece persoanele afectate in prezent se recupereaza treptat de boala.
Desigur, nici o strategie de contentie nu este perfecta, dar sa zicem ca facem o treaba destul de buna si in loc sa conducem R the la 0 am reusit sa-l conducem la 0,5 . Asa cum am aratat mai sus, ori de cate ori Rₒ <1 epidemia incepe sa moara, dar dureaza semnificativ mai mult decat in scenariul ideal si duce la un numar mai mare de infectii totale:
Strategia de izolare imperfecta. Strategia este implementata la momentul indicat de linia verticala si mentinuta atata timp cat este necesar, pentru ca numarul infectat sa ajunga la zero. Liniile subtiri solide corespund scenariului perfect anterior si sunt prezentate pentru comparatie.
Daca totusi, din anumite motive, costurile sociale sau economice ale blocajului sunt considerate a fi prea costisitoare, iar carantina este ridicata prematur, revenim pur si simplu la scenariul anterior, neingradit, de raspandire a epidemiei:
Strategia de izolare imperfecta. Strategia este implementata la momentul indicat de zona umbrita verticala. Liniile solide punctate si subtiri corespund scenariilor de neinterventie si de blocare imperfecta si sunt prezentate pentru comparatie.
Dupa cum vedem, o blocare prematura duce rapid la un al doilea val al epidemiei care duce la aproape la fel de multe cazuri ca si cum nu ar fi existat nicio interventie. Cu toate acestea, are inca beneficiul de a mentine numarul maxim de persoane bolnave sub ceea ce ar fi in mod normal si de a „raspandi” curba epidemica: Cu alte cuvinte, aplatizarea curbei care va ajuta la prevenirea coplesirii asistentei medicale sistem.
Pentru claritate, sa aruncam o privire si asupra numarului de cazuri infectioase
Strategia de izolare imperfecta. Strategia este implementata la momentul indicat de zona umbrita verticala. Liniile solide punctate si subtiri corespund scenariilor de neinterventie si de blocare imperfecta si sunt prezentate pentru comparatie.
Nu este pentru un fizician sarac, cum sunt eu, sa oper daca oprirea din lumea intreaga merita sau nu economic sau social. Cel mai bun lucru pe care il pot face este sa va ajut sa intelegeti mai bine efectele sale practice.
Aceasta postare este deja extrem de lunga, dar as dori sa ia in considerare un punct suplimentar. Modelele compartimentare, prin natura lor, fac simplificari si presupuneri semnificative. O presupunere fundamentala este ca populatia de baza este bine amestecata: fiecare individ este in contact potential cu orice alt individ. Desi acest lucru este clar fals pentru orice populatie mare, deseori este o aproximatie suficient de buna pentru analiza calitativa a dinamicii epidemice.
Cu toate acestea, daca incercam sa supraestendem acest tip de modele, descoperim rapid ca tarile si orasele nu sunt populatii omogene. Tarile sunt formate din state, statele sunt constituite din orase si zone rurale etc.
Reprezentarea schematica a epidemiei intre populatiile vecine.
In cadrul fiecarei populatii, epidemia va continua asa cum am descris mai sus, dar atunci cand combinam mai multe populatii, rezultatele sunt mult mai putin clare. Sa luam in considerare doua populatii, sa zicem doua orase vecine. Epidemia incepe intr-una dintre ele si prin deplasare sau calatorie, in cele din urma, un individ infectios va infecta orasul vecin, rezultand o diferenta de timp intre cele doua populatii. Daca tratam in mod naiv aceste multiple populatii ca fiind una singura (ca atunci cand analizam doar totalul statului sau al tarii), curba rezultata este puternic afectata de diferenta de timp dintre cele doua populatii, ceea ce duce la curbe epidemice care nu prea seamana cu nici o similaritate cu simplul exemple pe care le-am analizat pana acum, facand ca orice moment de potrivire exponentiala sa fie o desfasurare inactiva, cu putin sau fara folos practic.
Daca ai ajuns pana acum, felicitari. Acum stiti mai multe despre modelarea epidemiei decat majoritatea curburilor neinfricate care exista acolo si speram ca nu veti comite aceleasi greseli pe care le fac.
Si daca mai doriti mai multe, partile II, III si IV din acest blog sunt deja publicate:
- Modelare epidemica 102: Toate modelele CoVID-19 sunt gresite, dar unele sunt utile
- Modelare epidemica 103: Adaugarea de intervale de incredere si efecte stocastice modelelor dvs. CoVID-19
- Modelarea Epidemiei 104: Impactul efectelor sezoniere asupra CoVID-19
si ar trebui sa le verificati.
Tot codul necesar pentru a implementa modelele descrise mai sus si pentru a genera cifrele utilizate poate fi gasit in acest depozit GitHub:
Daca v-a placut aceasta postare, s-ar putea sa va bucurati si de buletinul meu saptamanal in care impartasesc cele mai noi stiri si evolutii in domeniul invatarii masinilor si stiintei datelor, precum si orice postari viitoare pe blog pe care le scriu.
